9. Найдите значение выражения $$\sqrt{48 \cdot 80 \cdot 15}$$.

Решение:

Разложим числа под корнем на простые множители, чтобы найти полные квадраты:

\(48 = 16 × 3 = 2^4 × 3\)

\(80 = 16 × 5 = 2^4 × 5\)

\(15 = 3 × 5\)

Теперь подставим разложения в выражение под корнем:

\(\sqrt{48 × 80 × 15} = \sqrt{(2^4 × 3) × (2^4 × 5) × (3 × 5)}\)

Сгруппируем одинаковые множители:

\( = \sqrt{2^4 × 2^4 × 3 × 3 × 5 × 5} = \sqrt{2^8 × 3^2 × 5^2}\)

Извлечём квадратный корень:

\( = 2^{8/2} × 3^{2/2} × 5^{2/2} = 2^4 × 3^1 × 5^1\)

Вычислим результат:

\( = 16 × 3 × 5 = 16 × 15 = 240\).

Ответ: 240.