9. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел z₁ = 3 - 4i, z₂ = -5 + 7i

Решение:

Даны комплексные числа: \( z_1 = 3 - 4i \) и \( z_2 = -5 + 7i \).

1. Сумма:

\( z_1 + z_2 = (3 - 4i) + (-5 + 7i) = (3 - 5) + (-4 + 7)i = -2 + 3i \)

1. Разность:

\( z_1 - z_2 = (3 - 4i) - (-5 + 7i) = (3 + 5) + (-4 - 7)i = 8 - 11i \)

1. Произведение:

\( z_1 \cdot z_2 = (3 - 4i)(-5 + 7i) = 3(-5) + 3(7i) - 4i(-5) - 4i(7i) \)

\( = -15 + 21i + 20i - 28i^2 \)

Так как \( i^2 = -1 \), то \( -28i^2 = -28(-1) = 28 \).

\( = -15 + 41i + 28 = 13 + 41i \)

1. Частное:

\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 - 4i}{-5 + 7i} \)

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число \( (-5 - 7i) \):

\( \frac{(3 - 4i)(-5 - 7i)}{(-5 + 7i)(-5 - 7i)} = \frac{3(-5) + 3(-7i) - 4i(-5) - 4i(-7i)}{(-5)^2 - (7i)^2} \)

\( = \frac{-15 - 21i + 20i + 28i^2}{25 - 49i^2} = \frac{-15 - i - 28}{25 + 49} = \frac{-43 - i}{74} \)

\( = -\frac{43}{74} - \frac{1}{74}i \)

Ответ:

• Сумма: \( -2 + 3i \)
• Разность: \( 8 - 11i \)
• Произведение: \( 13 + 41i \)
• Частное: \( -\frac{43}{74} - \frac{1}{74}i \)