3. Решите уравнение √x + 1 = x - 5.

Решение:

Дано иррациональное уравнение: \( \sqrt{x + 1} = x - 5 \)

1. ОДЗ:
• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1 \).
• Правая часть уравнения должна быть неотрицательной (так как корень неотрицателен): \( x - 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5 \).
• Объединяя условия, получаем \( x \ge 5 \).
2. Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{x + 1})^2 = (x - 5)^2 \)

\( x + 1 = x^2 - 10x + 25 \)

\( x^2 - 10x - x + 25 - 1 = 0 \)

\( x^2 - 11x + 24 = 0 \)

1. Решим полученное квадратное уравнение:
• Дискриминант \( D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \)
• \( x_1 = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
• \( x_2 = \frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

Проверим корни на соответствие ОДЗ (\( x \ge 5 \)):

• \( x_1 = 8 \): \( 8 \ge 5 \) (подходит).
• \( x_2 = 3 \): \( 3 \ge 5 \) (не подходит).

Ответ: \( x = 8 \).