14. Вычислите определенный интеграл: ∫[-1, 1] ((9 - x²) * (x² - 16)) / (x² - 7x + 12) dx

Решение:

Вычислим определённый интеграл: \( \int_{-1}^{1} \frac{(9 - x^2)(x^2 - 16)}{x^2 - 7x + 12} dx \).

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:
• Числитель: \( (9 - x^2)(x^2 - 16) = (3 - x)(3 + x)(x - 4)(x + 4) \)
• Знаменатель: \( x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) \)
2. Сократим дробь:

\( \frac{(3 - x)(3 + x)(x - 4)(x + 4)}{(x - 3)(x - 4)} = \frac{-(x - 3)(3 + x)(x - 4)(x + 4)}{(x - 3)(x - 4)} \)

Сокращаем \( (x - 3) \) и \( (x - 4) \), при условии, что \( x
e 3 \) и \( x
e 4 \).

Остается: \( -(3 + x)(x + 4) = -(x^2 + 4x + 3x + 12) = -(x^2 + 7x + 12) = -x^2 - 7x - 12 \).

1. Вычислим интеграл от полученной функции:

\( \int_{-1}^{1} (-x^2 - 7x - 12) dx \)

\( = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} - 12x \right]_{-1}^{1} \)

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\( = \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{7 \cdot 1^2}{2} - 12 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} - \frac{7 \cdot (-1)^2}{2} - 12 \cdot (-1) \right) \)

\( = \left( -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 \right) - \left( -\frac{-1}{3} - \frac{7}{2} + 12 \right) \)

\( = \left( -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 12 \right) \)

\( = -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 - \frac{1}{3} + \frac{7}{2} - 12 \)

\( = -\frac{1}{3} - \frac{1}{3} - 12 - 12 \)

\( = -\frac{2}{3} - 24 \)

\( = -\frac{2}{3} - \frac{72}{3} \)

\( = -\frac{74}{3} \)

Ответ: \( -\frac{74}{3} \).