9. Объем ящика, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равен 60 кубическим сантиметрам. Площадь крышки равна 20 квадратным сантиметрам, площадь меньшей боковой стенки - 12 квадратным сантиметрам. Какую часть составляет площадь дна от площади полной поверхности ящика?

Решение:

Обозначим длину, ширину и высоту параллелепипеда как \( a, b, c \) соответственно.

Объем равен \( V = abc = 60 \) см³.

Площадь крышки (и дна) равна \( S_{крышки} = ab = 20 \) см².

Площадь меньшей боковой стенки равна \( S_{стенки} = bc = 12 \) см² (предполагаем, что \( b \) — ширина, \( c \) — высота, и \( bc \) является меньшей боковой площадью).

Найдем высоту \( c \) из объема и площади крышки:

\( V = S_{крышки} \cdot c \)

\( 60 = 20 \cdot c \)

\( c = \frac{60}{20} = 3 \) см.

Теперь найдем ширину \( b \) из площади боковой стенки:

\( S_{стенки} = b \cdot c \)

\( 12 = b \cdot 3 \)

\( b = \frac{12}{3} = 4 \) см.

Найдем длину \( a \) из площади крышки:

\( S_{крышки} = a \cdot b \)

\( 20 = a \cdot 4 \)

\( a = \frac{20}{4} = 5 \) см.

Итак, размеры параллелепипеда: длина \( a = 5 \) см, ширина \( b = 4 \) см, высота \( c = 3 \) см.

Площадь дна равна площади крышки: \( S_{дна} = ab = 5 \cdot 4 = 20 \) см².

Площадь большей боковой стенки: \( S_{большей\ боковой\ стенки} = ac = 5 \cdot 3 = 15 \) см².

Площадь полной поверхности ящика равна сумме площадей всех шести граней:

\( S_{полной\ поверхности} = 2 \cdot (ab + ac + bc) \)

\( S_{полной\ поверхности} = 2 \cdot (20 + 15 + 12) = 2 \cdot 47 = 94 \) см².

Найдем, какую часть составляет площадь дна от площади полной поверхности:

\( \frac{S_{дна}}{S_{полной\ поверхности}} = \frac{20}{94} = \frac{10}{47} \).

Ответ: Площадь дна составляет \( \frac{10}{47} \) от площади полной поверхности ящика.