9. Решите уравнение: (x+21)/(x²-9) - x/(x+3) = 0

Решение:

1. Приведем знаменатели к общему виду. Заметим, что \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \).
2. Общий знаменатель: \( (x-3)(x+3) \).
3. Приведем вторую дробь к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на \( x-3 \): \( \frac{x}{x+3} = \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{x^2 - 3x}{x^2 - 9} \).
4. Теперь уравнение выглядит так: \( \frac{x+21}{x^2-9} - \frac{x^2-3x}{x^2-9} = 0 \).
5. Вычтем числители, оставив общий знаменатель: \( \frac{(x+21) - (x^2-3x)}{x^2-9} = 0 \).
6. Упростим числитель: \( x+21 - x^2 + 3x = -x^2 + 4x + 21 \).
7. Уравнение примет вид: \( \frac{-x^2 + 4x + 21}{x^2-9} = 0 \>.
8. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
9. Решим числитель: \( -x^2 + 4x + 21 = 0 \) или \( x^2 - 4x - 21 = 0 \>.
10. Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \>.
11. \( x_1 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \>.
12. \( x_2 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \>.
13. Проверим знаменатель: \( x^2 - 9 \ne 0 \), значит \( x \ne 3 \) и \( x \ne -3 \>.
14. Корень \( x = -3 \) не подходит, так как знаменатель обращается в ноль.

Ответ: x = 7.