9. Сравнить значения выражений √7 + 2√10 и √22 - 2√45.

Решение:

Первое выражение: \( \sqrt{7} + 2\sqrt{10} \)

Попробуем представить \( \sqrt{7} + 2\sqrt{10} \) в виде \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) возведя в квадрат.

\( (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab} \).

Нам нужно, чтобы \( a+b=7 \) и \( ab=10 \).

Таких целых чисел \( a \) и \( b \) не существует.

Оценим значение \( \sqrt{7} \) и \( \sqrt{10} \):

• \( 2^2=4 \), \( 3^2=9 \), значит \( 2 < \sqrt{7} < 3 \). \( \sqrt{7} \approx 2.65 \).
• \( 3^2=9 \), \( 4^2=16 \), значит \( 3 < \sqrt{10} < 4 \). \( \sqrt{10} \approx 3.16 \).

\( \sqrt{7} + 2\sqrt{10} \approx 2.65 + 2 \cdot 3.16 = 2.65 + 6.32 = 8.97 \).

Второе выражение: \( \sqrt{22} - 2\sqrt{45} \)

Упростим \( \sqrt{45} \): \( \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \).

Тогда второе выражение: \( \sqrt{22} - 2 \cdot 3\sqrt{5} = \sqrt{22} - 6\sqrt{5} \).

Оценим значение \( \sqrt{22} \) и \( \sqrt{5} \):

• \( 4^2=16 \), \( 5^2=25 \), значит \( 4 < \sqrt{22} < 5 \). \( \sqrt{22} \approx 4.69 \).
• \( 2^2=4 \), \( 3^2=9 \), значит \( 2 < \sqrt{5} < 3 \). \( \sqrt{5} \approx 2.24 \).

\( \sqrt{22} - 6\sqrt{5} \approx 4.69 - 6 \cdot 2.24 = 4.69 - 13.44 = -8.75 \).

Сравним полученные приближённые значения: \( 8.97 \) и \( -8.75 \).

\( 8.97 > -8.75 \).

Чтобы доказать строго, сравним квадраты выражений, если они положительные. Первое выражение положительное. Второе выражение отрицательное, так как \( \sqrt{22} < \sqrt{25}=5 \) и \( 6\sqrt{5} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{180} \). \( \sqrt{22} < \sqrt{180} \), значит \( \sqrt{22} - 6\sqrt{5} < 0 \).

Положительное число всегда больше отрицательного.

Ответ: \( \sqrt{7} + 2\sqrt{10} > \sqrt{22} - 2\sqrt{45} \).