Выяснить, каким числом — рациональным или иррациональным — является значение выражения (5–8).

Решение:

Для определения типа числа (рациональное или иррациональное) нужно упростить каждое из выражений.

• 5. \( \sqrt{7}-\sqrt{6} \)( \( \sqrt{6}+\sqrt{7} \) )

Это разность квадратов: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \). Здесь \( a = \sqrt{7} \) и \( b = \sqrt{6} \).

\( (\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{6}+\sqrt{7}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2 = 7 - 6 = 1 \).

Число 1 является рациональным.

• 6. \( (\sqrt{75}-3)-\sqrt{5}(\sqrt{15}-\sqrt{5}) \)

Упростим \( \sqrt{75} \): \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \).

Упростим вторую часть раскрывая скобки:

\( \sqrt{5}(\sqrt{15}-\sqrt{5}) = \sqrt{5} \cdot \sqrt{15} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{75} - 5 = 5\sqrt{3} - 5 \).

Теперь подставим обратно в выражение:

\( (5\sqrt{3}-3) - (5\sqrt{3}-5) = 5\sqrt{3} - 3 - 5\sqrt{3} + 5 = -3 + 5 = 2 \).

Число 2 является рациональным.

• 7. \( \sqrt{16+6\sqrt{5}} \)

Попробуем представить выражение под корнем как квадрат суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

\( 6\sqrt{5} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} \). Мы ищем \( a^2+b^2=16 \) и \( ab=3\sqrt{5} \).

Пусть \( a=3 \), \( b=\sqrt{5} \). Тогда \( a^2=9 \), \( b^2=5 \). \( a^2+b^2 = 9+5=14 \). Не подходит.

Попробуем представить \( 16+6\sqrt{5} \) как \( (3+\sqrt{5})^2 \) ? \( (3+\sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14+6\sqrt{5} \). Не подходит.

Попробуем представить \( 16+6\sqrt{5} \) как \( (a\sqrt{b}+c\sqrt{d})^2 \) или \( (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \).

\( 6\sqrt{5} = 2 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{45} \). Или \( 6\sqrt{5} = 2 \cdot 3 \sqrt{5} \).

Заметим, что \( 16+6\sqrt{5} = 16+2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} \). Ищем два числа, сумма квадратов которых равна 16, а произведение равно \( 3\sqrt{5} \).

Рассмотрим \( (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab} \).

\( 16+6\sqrt{5} = 16+2\sqrt{9 5} = 16+2\sqrt{45} \). Нам нужны \( a \) и \( b \) такие, что \( a+b=16 \) и \( ab=45 \).

Это числа 9 и 5. То есть \( 16+6\sqrt{5} = 9+5+2\sqrt{9 \cdot 5} = (\sqrt{9}+\sqrt{5})^2 = (3+\sqrt{5})^2 \).

Значит, \( \sqrt{16+6\sqrt{5}} = \sqrt{(3+\sqrt{5})^2} = 3+\sqrt{5} \).

\( 3+\sqrt{5} \) — иррациональное число.

• 8. \( \sqrt{12-2\sqrt{11}} + \sqrt{60-14\sqrt{11}} \)

Рассмотрим первое слагаемое: \( \sqrt{12-2\sqrt{11}} \).

Ищем \( a \) и \( b \) такие, что \( a+b=12 \) и \( ab=11 \).

Это числа 11 и 1. Значит, \( 12-2\sqrt{11} = 11+1-2\sqrt{11 \cdot 1} = (\sqrt{11}-\sqrt{1})^2 = (\sqrt{11}-1)^2 \).

\( \sqrt{12-2\sqrt{11}} = \sqrt{(\sqrt{11}-1)^2} = \sqrt{11}-1 \) (так как \( \sqrt{11} > 1 \)).

Рассмотрим второе слагаемое: \( \sqrt{60-14\sqrt{11}} \).

Упростим \( 14\sqrt{11} = 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{11} = 2 \sqrt{49 \cdot 11} = 2 \sqrt{539} \).

Ищем \( a \) и \( b \) такие, что \( a+b=60 \) и \( ab=539 \).

Перебор множителей 539: 1, 7, 11, 49, 77, 539. Попробуем 49 и 11: \( 49+11=60 \). Верно!

Значит, \( 60-14\sqrt{11} = 60-2\sqrt{49 11} = (\sqrt{49}-\sqrt{11})^2 = (7-\sqrt{11})^2 \).

\( \sqrt{60-14\sqrt{11}} = \sqrt{(7-\sqrt{11})^2} = 7-\sqrt{11} \) (так как \( 7 > \sqrt{11} \)).

Теперь сложим оба упрощённых выражения:

\( (\sqrt{11}-1) + (7-\sqrt{11}) = \sqrt{11}-1+7-\sqrt{11} = -1+7 = 6 \).

Число 6 является рациональным.

Ответ: Выражение 5 — рациональное число (1); выражение 6 — рациональное число (2); выражение 7 — иррациональное число (3 + √5); выражение 8 — рациональное число (6).