9. Треугольник MNK задан координатами своих вершин: M(−6; 1), N(2; 4), K(2; −2). А) Докажите, что треугольник MNK — равнобедренный; Б) найдите высоту, проведённую из вершины M.

А) Докажем, что треугольник равнобедренный.

Найдём длины сторон, выходящих из вершины M:

\(MN=\sqrt{(2-(-6))^2+(4-1)^2}=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}\).

\(MK=\sqrt{(2-(-6))^2+(-2-1)^2}=\sqrt{8^2+(-3)^2}=\sqrt{73}\).

Значит, \(MN=MK\), поэтому треугольник MNK равнобедренный, его основание — NK.

Б) Найдём высоту из M.

Точки N и K имеют одинаковую абсциссу \(x=2\), поэтому прямая NK вертикальна. Перпендикуляр из M к NK горизонтален; его длина равна разности абсцисс: \(|2-(-6)|=8\).

Ответ: высота, проведённая из M к NK, равна 8.