9. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение:

Время распада: 42 минуты.
Период полураспада: 7 минут.

1. Найдем, сколько периодов полураспада прошло: \( 42 \text{ мин} / 7 \text{ мин} = 6 \) периодов.
2. Масса изотопа уменьшается вдвое за каждый период полураспада.
3. Начальная масса: \( 640 \text{ мг} \).
4. Масса через 1 период: \( 640 / 2 = 320 \text{ мг} \).
5. Масса через 2 периода: \( 320 / 2 = 160 \text{ мг} \).
6. Масса через 3 периода: \( 160 / 2 = 80 \text{ мг} \).
7. Масса через 4 периода: \( 80 / 2 = 40 \text{ мг} \).
8. Масса через 5 периодов: \( 40 / 2 = 20 \text{ мг} \).
9. Масса через 6 периодов: \( 20 / 2 = 10 \text{ мг} \).

Или можно использовать формулу: \( m(t) = m_0 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}} \), где \( m(t) \) — масса в момент времени \( t \), \( m_0 \) — начальная масса, \( t \) — время, \( T \) — период полураспада.

\[ m(42) = 640 \text{ мг} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{42}{7}} = 640 \text{ мг} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = 640 \text{ мг} \cdot \frac{1}{64} = 10 \text{ мг} \]

Ответ: 10 мг.