9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Бросаем монету $$n=5$$ раз. Вероятность выпадения орла (успеха) $$p = 0.5$$. Вероятность выпадения решки (неудачи) $$q = 1 - p = 0.5$$. Нам нужно найти вероятность того, что орел выпадет ровно $$k=2$$ раза.

Формула Бернулли:

\[ P(X=k) = C_n^k × p^k × q^{n-k} \]

Где $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ — число сочетаний.

Вычислим число сочетаний:

\[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 × 4}{2 × 1} = 10 \]

Теперь подставим значения в формулу Бернулли:

\[ P(X=2) = 10 × (0.5)^2 × (0.5)^{5-2} = 10 × (0.5)^2 × (0.5)^3 \]\[ P(X=2) = 10 × 0.25 × 0.125 = 10 × 0.03125 = 0.3125 \]