9. В треугольнике АВС угол А=30°, угол C=45°, сторона ВС= 3√2 Найти сторону АВ.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \).

В нашем случае: \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \). Углы: \( A=30^{\circ} \), \( C=45^{\circ} \), \( BC=3\sqrt{2} \).

Сначала найдём угол B. Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 45^{\circ} = 105^{\circ} \).

Теперь применим теорему синусов, чтобы найти сторону AB (обозначим её как \( c \)):

\( \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \).

\( \frac{3\sqrt{2}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{AB}{\sin 45^{\circ}} \).

Подставим известные значения синусов:

\( \sin 30^{\circ} = 0.5 = \frac{1}{2} \).

\( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\( \frac{3\sqrt{2}}{1/2} = \frac{AB}{\sqrt{2}/2} \).

\( 3\sqrt{2} \cdot 2 = \frac{AB \cdot 2}{\sqrt{2}} \).

\( 6\sqrt{2} = \frac{2 \cdot AB}{\sqrt{2}} \).

Умножим обе части на \( \sqrt{2} \):

\( 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot AB \).

\( 6 \cdot 2 = 2 \cdot AB \).

\( 12 = 2 \cdot AB \).

\( AB = \frac{12}{2} = 6 \).

Ответ: 6