9. В треугольнике HMN угол M равен 40°, угол N равен 78°, HR — биссектриса, K — такая точка на HM, что HK = HN. Найдите угол MRK. Ответ дайте в градусах.

Так как \(HR\) — биссектриса угла \(H\), а \(\angle H=180^\circ-40^\circ-78^\circ=62^\circ\), то \(\angle MHR=31^\circ\).

Из условия \(HK=HN\), поэтому треугольник \(HKN\) равнобедренный. Угол при вершине \(H\) равен \(\angle MHN=40^\circ\), следовательно, \(\angle HNK=\angle HKN=70^\circ\).

Точки \(M,R,N\) лежат на одной прямой. Угол между лучами \(NH\) и \(NK\) равен \(70^\circ\), а между \(NH\text{ и }NR\) — \(78^\circ\), поэтому \(\angle KNR=8^\circ\). В треугольнике \(KNR\): \(\angle KRN=180^\circ-70^\circ-8^\circ=102^\circ\). Поскольку лучи \(RM\) и \(RN\) противоположны, \(\angle MRK=180^\circ-102^\circ=78^\circ\).

Ответ: 78°.