9. В ювелирную мастерскую привезли 7 изумрудов, 6 алмазов и 6 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 4 изумруда, 5 алмазов и 3 сапфира. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?

Решение:

Для выбора камней на браслет необходимо рассчитать количество способов выбора для каждого вида камней отдельно, а затем перемножить эти количества.

Количество способов выбрать 4 изумруда из 7 имеющихся:

\( C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35 \).

Количество способов выбрать 5 алмазов из 6 имеющихся:

\( C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = 6 \).

Количество способов выбрать 3 сапфира из 6 имеющихся:

\( C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \).

Общее количество способов выбрать камни на браслет равно произведению количества способов выбора каждого вида камней:

\[ \text{Общее количество способов} = C_7^4 \times C_6^5 \times C_6^3 = 35 \times 6 \times 20 = 210 \times 20 = 4200 \]

Ответ: 4200 способов.