9. В задуманном двузначном числе цифра, стоящая в разряде десятков, в 2 раза меньше цифры, стоящей в разряде единиц. Если эти две цифры поменять местами, то число увеличится на 27. Найдите задуманное число.

Решение:

Пусть \( x \) — цифра в разряде десятков, а \( y \) — цифра в разряде единиц. Тогда задуманное число можно представить как \( 10x + y \).

1. По условию, цифра в разряде десятков в 2 раза меньше цифры в разряде единиц: \( x = \frac{y}{2} \) или \( y = 2x \).
2. Когда цифры меняют местами, получается число \( 10y + x \).
3. По условию, новое число увеличилось на 27, то есть: \( 10y + x = (10x + y) + 27 \).
4. Упростим это уравнение: \( 10y + x - 10x - y = 27 \) \( 9y - 9x = 27 \).
5. Разделим обе части на 9: \( y - x = 3 \).
6. Теперь у нас есть система из двух уравнений: \( \begin{cases} y = 2x \ y - x = 3 \end{cases} \)
7. Подставим первое уравнение во второе: \( 2x - x = 3 \), откуда \( x = 3 \).
8. Найдем \( y \), подставив \( x = 3 \) в первое уравнение: \( y = 2 \cdot 3 = 6 \).
9. Итак, цифра в разряде десятков равна 3, а в разряде единиц — 6. Задуманное число — 36.
10. Проверим: 36. Если поменять местами, получится 63. \( 63 - 36 = 27 \). Условие выполняется.

Ответ: 36