9. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: y = x+3 и y = -x²+8x-7.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно сначала найти точки их пересечения. Приравняем правые части уравнений:

\[ x + 3 = -x^2 + 8x - 7 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + x - 8x + 3 + 7 = 0 \]

\[ x^2 - 7x + 10 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9 \]

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]

Таким образом, точки пересечения имеют абсциссы \( x=2 \) и \( x=5 \).

Теперь определим, какая функция находится выше на отрезке \( [2; 5] \). Возьмём пробную точку, например \( x=3 \):

Для \( y = x+3 \): \( y(3) = 3+3 = 6 \)

Для \( y = -x^2 + 8x - 7 \): \( y(3) = -(3)^2 + 8(3) - 7 = -9 + 24 - 7 = 15 - 7 = 8 \)

Так как \( 8 > 6 \), функция \( y = -x^2 + 8x - 7 \) находится выше на данном отрезке.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций по отрезку от \( x_2 \) до \( x_1 \):

\[ S = \int_{2}^{5} ((-x^2 + 8x - 7) - (x + 3)) dx \]

\[ S = \int_{2}^{5} (-x^2 + 8x - 7 - x - 3) dx \]

\[ S = \int_{2}^{5} (-x^2 + 7x - 10) dx \]

Вычислим определённый интеграл:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} - 10x \right]_{2}^{5} \]

Подставим верхний предел интегрирования (5):

\[ F(5) = -\frac{5^3}{3} + \frac{7 \cdot 5^2}{2} - 10 \cdot 5 = -\frac{125}{3} + \frac{7 \cdot 25}{2} - 50 = -\frac{125}{3} + \frac{175}{2} - 50 \]

Приведём к общему знаменателю (6):

\[ F(5) = \frac{-125 \cdot 2}{6} + \frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{50 \cdot 6}{6} = \frac{-250 + 525 - 300}{6} = \frac{275 - 300}{6} = \frac{-25}{6} \]

Подставим нижний предел интегрирования (2):

\[ F(2) = -\frac{2^3}{3} + \frac{7 \cdot 2^2}{2} - 10 \cdot 2 = -\frac{8}{3} + \frac{7 \cdot 4}{2} - 20 = -\frac{8}{3} + \frac{28}{2} - 20 = -\frac{8}{3} + 14 - 20 = -\frac{8}{3} - 6 \]

Приведём к общему знаменателю (3):

\[ F(2) = \frac{-8}{3} - \frac{6 \cdot 3}{3} = \frac{-8 - 18}{3} = \frac{-26}{3} \]

Теперь вычтем \( F(2) \) из \( F(5) \):

\[ S = F(5) - F(2) = \frac{-25}{6} - \left(\frac{-26}{3}\right) = \frac{-25}{6} + \frac{26}{3} \]

Приведём к общему знаменателю (6):

\[ S = \frac{-25}{6} + \frac{26 \cdot 2}{6} = \frac{-25 + 52}{6} = \frac{27}{6} \]

Сократим дробь:

\[ S = \frac{9}{2} \]

Ответ: \(\frac{9}{2}\)