94. Сначала вычислили сумму цифр числа, равного произведению 1·2·3·…·999·1000. Потом вычисляли сумму цифр полученного числа. Так поступали до тех пор, пока не получили однозначное число. Что это за число?

Нужно найти цифровой корень числа \(1000!\). Число \(1000!\) оканчивается нулями, но не делится на 3, потому что среди множителей есть 3, 6, 9 и другие числа, поэтому оно делится на 3. При этом оно не делится на 9: сумма цифр показателя степени простых множителей показывает, что степень двойки и пятёрки образует число, а для цифрового корня достаточно установить остаток по модулю 9.

В произведении \(1\cdot2\cdot\ldots\cdot1000\) есть множитель 9, поэтому произведение делится на 9. Оно не делится на 27 только после учёта всех множителей? На самом деле факториал содержит много множителей 3, поэтому делится на 9, а его цифровой корень равен 9.

Ответ: 9.