97. Сравните числа: \( \sqrt[5]{\left(\frac{3}{7}\right)^4} \) и \( \sqrt[5]{\frac{5}{14}} \)

Решение:

Для сравнения чисел \( \sqrt[5]{\left(\frac{3}{7}\right)^4} \) и \( \sqrt[5]{\frac{5}{14}} \) сравним их подкоренные выражения, так как функция \( \sqrt[5]{x} \) возрастающая.

Сравним \( \left(\frac{3}{7}\right)^4 \) и \( \frac{5}{14} \).

Вычислим \( \left(\frac{3}{7}\right)^4 = \frac{3^4}{7^4} = \frac{81}{2401} \).

Теперь сравним \( \frac{81}{2401} \) и \( \frac{5}{14} \).

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для \( 2401 \) и \( 14 \) — это \( 2401 \times 14 = 33614 \).

\( \frac{81}{2401} = \frac{81 \times 14}{2401 \times 14} = \frac{1134}{33614} \)

\( \frac{5}{14} = \frac{5 \times 2401}{14 \times 2401} = \frac{12005}{33614} \)

Сравнивая числители, видим, что \( 1134 < 12005 \).

Значит, \( \frac{81}{2401} < \frac{5}{14} \).

Следовательно, \( \sqrt[5]{\left(\frac{3}{7}\right)^4} < \sqrt[5]{\frac{5}{14}} \).

Ответ: \( \sqrt[5]{\left(\frac{3}{7}\right)^4} < \sqrt[5]{\frac{5}{14}} \)