983. При каких натуральных n дробь (n − 7)²/n принимает натуральные значения?

Раскроем квадрат и разделим слагаемые на n: \((n-7)^2/n=n-14+49/n\). При натуральном n первые два слагаемых целые; поэтому для целого (а значит, потенциально натурального) результата необходимо и достаточно, чтобы \(49/n\) было целым. Натуральные делители 49: 1, 7, 49.

Проверка: при \(n=1\) значение равно 36; при \(n=7\) — 0; при \(n=49\) — 36. Если по принятому в учебнике соглашению натуральные числа включают 0, подходят все три значения n. Если 0 не считается натуральным, подходит n = 1 или n = 49.

Ответ: n = 1, 7, 49 при включении 0 в натуральные значения; иначе n = 1, 49.