616. a) 1/√1·2, -4/√2·3, 9/√3·4, -16/√4·5, 25/√5·6, ... ;

Рассмотрим последовательность числителей: 1, 4, 9, 16, 25, ... Это последовательность квадратов натуральных чисел, то есть n².

Рассмотрим знаки: +, -, +, -, +, ... Они чередуются, поэтому можно использовать (-1)^(n+1) или (-1)^(n-1).

Рассмотрим последовательность под корнем в знаменателе: 1·2, 2·3, 3·4, 4·5, 5·6, ... Это последовательность произведений n(n+1).

Тогда общая формула для n-го члена последовательности:

$$a_n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{n^2}{\sqrt{n(n+1)}}$$

Проверим:

$$a_1 = (-1)^{1+1} \cdot \frac{1^2}{\sqrt{1(1+1)}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$a_2 = (-1)^{2+1} \cdot \frac{2^2}{\sqrt{2(2+1)}} = -\frac{4}{\sqrt{6}}$$

$$a_3 = (-1)^{3+1} \cdot \frac{3^2}{\sqrt{3(3+1)}} = \frac{9}{\sqrt{12}}$$

Ответ: $$a_n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{n^2}{\sqrt{n(n+1)}}$$