55.10 a) √x⁴ - 3x - 1 = x²-1; (

а) $$√{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1$$

ОДЗ: $$x^4 - 3x - 1 \geq 0$$ и $$x^2 - 1 \geq 0$$, то есть $$x^2 \geq 1$$, то есть $$x \leq -1$$ или $$x \geq 1$$

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$$x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2$$

$$x^4 - 3x - 1 = x^4 - 2x^2 + 1$$

$$2x^2 - 3x - 2 = 0$$

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

$$x_1 = \frac{3 + √25}{4} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

$$x_2 = \frac{3 - √25}{4} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Проверяем корни:

При $$x = 2$$:

$$√{2^4 - 3 \cdot 2 - 1} = 2^2 - 1$$

$$√{16 - 6 - 1} = 4 - 1$$

$$√{9} = 3$$

$$3 = 3$$

При $$x = -\frac{1}{2}$$:

$$√{\frac{1}{16} - 3 \cdot (-\frac{1}{2}) - 1} = (-\frac{1}{2})^2 - 1$$

$$√{\frac{1}{16} + \frac{3}{2} - 1} = \frac{1}{4} - 1$$

$$√{\frac{1 + 24 - 16}{16}} = -\frac{3}{4}$$

$$√{\frac{9}{16}} = -\frac{3}{4}$$

$$\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}$$

Не подходит.

ОДЗ: $$x \leq -1$$ или $$x \geq 1$$

Ответ: $$x = 2$$