0356. a) 6 cos² x + cos x - 1 = 0; 6) 2 cos² 3x – 5 cos 3x - 3 = 0;

356. a) Решим уравнение $$6 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$$.

Пусть $$t = \cos x$$, тогда $$6t^2 + t - 1 = 0$$.

$$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$$.

$$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$.

$$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$$.

Вернемся к замене:

1) $$\cos x = \frac{1}{3}$$.

$$x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

2) $$\cos x = -\frac{1}{2}$$.

$$x = \pm \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi k, x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

356. б) Решим уравнение $$2 \cos^2 3x - 5 \cos 3x - 3 = 0$$.

Пусть $$t = \cos 3x$$, тогда $$2t^2 - 5t - 3 = 0$$.

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$.

$$t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$.

$$t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$$.

Вернемся к замене:

1) $$\cos 3x = 3$$ - решения нет, т.к. $$|\cos 3x| \le 1$$.

2) $$\cos 3x = -\frac{1}{2}$$.

$$3x = \pm \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

$$3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

$$x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$$