0358. a) 3 tg2 x + 2tgx - 1 = 0; 6) ctg² 2x - 6 ctg 2x + 5 = 0;

358. a) Решим уравнение $$3 \operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x - 1 = 0$$.

Пусть $$t = \operatorname{tg} x$$, тогда $$3t^2 + 2t - 1 = 0$$.

$$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$$.

$$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$.

$$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$.

Вернемся к замене:

1) $$\operatorname{tg} x = \frac{1}{3}$$.

$$x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

2) $$\operatorname{tg} x = -1$$.

$$x = \operatorname{arctg} (-1) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi k, x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

358. б) Решим уравнение $$\operatorname{ctg}^2 2x - 6 \operatorname{ctg} 2x + 5 = 0$$.

Пусть $$t = \operatorname{ctg} 2x$$, тогда $$t^2 - 6t + 5 = 0$$.

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$$.

$$t_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$$.

$$t_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$.

Вернемся к замене:

1) $$\operatorname{ctg} 2x = 5$$.

$$2x = \operatorname{arcctg} 5 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{1}{2} \operatorname{arcctg} 5 + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$$

2) $$\operatorname{ctg} 2x = 1$$.

$$2x = \operatorname{arcctg} 1 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

$$2x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z$$

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{1}{2} \operatorname{arcctg} 5 + \frac{\pi k}{2}, x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$$