0357. a) 2 sin² x + 3 cos x = 0; 6) 8 sin² 2x + cos 2x + 1 = 0;

357. a) Решим уравнение $$2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$$.

$$2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0$$

$$2 - 2\cos^2 x + 3 \cos x = 0$$

$$- 2\cos^2 x + 3 \cos x + 2 = 0$$

$$2\cos^2 x - 3 \cos x - 2 = 0$$

Пусть $$t = \cos x$$, тогда $$2t^2 - 3t - 2 = 0$$.

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$.

$$t_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$$.

$$t_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$.

Вернемся к замене:

1) $$\cos x = 2$$ - решения нет, т.к. $$|\cos x| \le 1$$.

2) $$\cos x = -\frac{1}{2}$$.

$$x = \pm \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

357. б) Решим уравнение $$8 \sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$$.

$$8(1 - \cos^2 2x) + \cos 2x + 1 = 0$$

$$8 - 8\cos^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$$

$$- 8\cos^2 2x + \cos 2x + 9 = 0$$

$$8\cos^2 2x - \cos 2x - 9 = 0$$

Пусть $$t = \cos 2x$$, тогда $$8t^2 - t - 9 = 0$$.

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289$$.

$$t_1 = \frac{1 + \sqrt{289}}{2 \cdot 8} = \frac{1 + 17}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$$.

$$t_2 = \frac{1 - \sqrt{289}}{2 \cdot 8} = \frac{1 - 17}{16} = \frac{-16}{16} = -1$$.

Вернемся к замене:

1) $$\cos 2x = \frac{9}{8}$$ - решения нет, т.к. $$|\cos 2x| \le 1$$.

2) $$\cos 2x = -1$$.

$$2x = \arccos (-1) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

$$2x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$