0355. a) 3sin²x - 5sinx - 2 = 0; 6) 3 sin² 2x + 10sin2x + 3 = 0;

355. a) Решим уравнение $$3\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0$$.

Пусть $$t = \sin x$$, тогда $$3t^2 - 5t - 2 = 0$$.

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$.

$$t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$$.

$$t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$$.

Вернемся к замене:

1) $$\sin x = 2$$ - решения нет, т.к. $$|\sin x| \le 1$$.

2) $$\sin x = -\frac{1}{3}$$.

$$x = (-1)^k \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

$$x = (-1)^{k+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = (-1)^{k+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

355. б) Решим уравнение $$3\sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0$$.

Пусть $$t = \sin 2x$$, тогда $$3t^2 + 10t + 3 = 0$$.

$$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$$.

$$t_1 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$.

$$t_2 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$.

Вернемся к замене:

1) $$\sin 2x = -\frac{1}{3}$$.

$$2x = (-1)^k \arcsin \left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

$$2x = (-1)^{k+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

$$x = (-1)^{k+1} \frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$$

2) $$\sin 2x = -3$$ - решения нет, т.к. $$|\sin 2x| \le 1$$.

Ответ: $$x = (-1)^{k+1} \frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$$