359. а) Найдите корни уравнения sin 2x=, принадл отрезку [0, 2π].

359. a) Найдите корни уравнения $$\sin 2x = \frac{1}{2}$$, принадлежащие отрезку $$[0, 2\pi]$$.

Решим тригонометрическое уравнение $$\sin 2x = \frac{1}{2}$$.

$$2x = (-1)^k \arcsin \frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

$$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

$$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$$

Найдем корни, принадлежащие отрезку $$[0, 2\pi]$$.

1) $$k = 0$$, $$x = \frac{\pi}{12}$$ - принадлежит отрезку $$[0, 2\pi]$$.

2) $$k = 1$$, $$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12}$$ - принадлежит отрезку $$[0, 2\pi]$$.

3) $$k = 2$$, $$x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12}$$ - принадлежит отрезку $$[0, 2\pi]$$.

4) $$k = 3$$, $$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{2} = \frac{17\pi}{12}$$ - принадлежит отрезку $$[0, 2\pi]$$.

5) $$k = 4$$, $$x = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{25\pi}{12}$$ - принадлежит отрезку $$[0, 2\pi]$$.

6) $$k = 5$$, $$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{2} = \frac{29\pi}{12}$$ - принадлежит отрезку $$[0, 2\pi]$$.

7) $$k = 6$$, $$x = \frac{\pi}{12} + 3\pi = \frac{37\pi}{12}$$ - не принадлежит отрезку $$[0, 2\pi]$$.

Ответ: $$x = \frac{\pi}{12}, x = \frac{5\pi}{12}, x = \frac{13\pi}{12}, x = \frac{17\pi}{12}, x = \frac{25\pi}{12}, x = \frac{29\pi}{12}$$