16 A(2;4), B (2; 8), C (6; 4) Найдите: ∠CAB

Построим точки на координатной плоскости:

Найдем длины сторон $$\triangle ABC$$:

$$AB = |8 - 4| = 4$$

$$AC = |6 - 2| = 4$$

$$BC = \sqrt{(6-2)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

$$\triangle ABC$$ — равнобедренный ($$AB = AC$$). $$\angle CAB$$ – угол при вершине равнобедренного треугольника. $$BC$$ – основание. Можем найти косинус угла $$\angle CAB$$ по теореме косинусов:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle CAB}$$

$$(4\sqrt{2})^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos{\angle CAB}$$

$$32 = 16 + 16 - 32 \cdot \cos{\angle CAB}$$

$$32 = 32 - 32 \cdot \cos{\angle CAB}$$

$$32 \cdot \cos{\angle CAB} = 0$$

$$\cos{\angle CAB} = 0$$

$$\angle CAB = 90^\circ$$

Ответ: $$90^\circ$$