372. а) Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O, AD = 18, BC = 6, AC = 20. Найдите AO.

В трапеции ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Основания AD и BC параллельны. Треугольники BOC и DOA подобны по двум углам (угол BOC = угол DOA как вертикальные, угол OBC = угол ODA как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей BD). Из подобия следует пропорциональность сторон: $$\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD}$$ В нашем случае: $$\frac{CO}{OA} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$$ Пусть CO = x, тогда AO = 3x. Так как AC = AO + CO = 20, то: 3x + x = 20 4x = 20 x = 5 Следовательно, AO = 3x = 3 * 5 = 15. Ответ: AO = 15