133. а) Диагонали АС и BD трапеции АBCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, ВС=3, AD=7, AC=20. Найдите АО.

Рассмотрим трапецию ABCD, в которой BC || AD, AC и BD пересекаются в точке O, BC = 3, AD = 7, AC = 20. Требуется найти AO.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Угол BOC = углу DOA как вертикальные, угол BCO = углу DAO как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC, следовательно, треугольник BOC подобен треугольнику DOA по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что BO / DO = CO / AO = BC / AD. Обозначим AO = x, тогда CO = AC - AO = 20 - x. Получаем уравнение: (20 - x) / x = 3 / 7.

Решим уравнение: 7(20 - x) = 3x, 140 - 7x = 3x, 10x = 140, x = 140 / 10 = 14.

Ответ: 14.