б) Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, BC=3, AD=5, AC=24. Найдите АО.

Рассмотрим трапецию ABCD, в которой BC || AD, AC и BD пересекаются в точке O, BC = 3, AD = 5, AC = 24. Требуется найти AO.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Угол BOC = углу DOA как вертикальные, угол BCO = углу DAO как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC, следовательно, треугольник BOC подобен треугольнику DOA по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что BO / DO = CO / AO = BC / AD. Обозначим AO = x, тогда CO = AC - AO = 24 - x. Получаем уравнение: (24 - x) / x = 3 / 5.

Решим уравнение: 5(24 - x) = 3x, 120 - 5x = 3x, 8x = 120, x = 120 / 8 = 15.

Ответ: 15.