14. а) Докажите, что плоскость EFD₁ делит ребро B₁C₁ на два равных отрезка.

Доказательство: 1. Пусть M - точка пересечения EFD₁ и B₁C₁. 2. AE:EA₁ = 3:1 и BF:FB₁ = 3:5. 3. Так как ABCDABCD₁ - прямоугольный параллелепипед, то противоположные грани параллельны и равны. 4. Рассмотрим AA₁B₁B. Пусть E лежит на AA₁, F лежит на BB₁ и M лежит на B₁C₁. 5. Введем систему координат, где A(0;0;0), B(5√2; 0; 0), A₁(0; 0; 16). 6. Координаты точек: E(0; 0; 12), F(5√2; 0; (5*16)/8) = (5√2; 0; 10), D₁(0; 12; 16). 7. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки EFD₁. 8. Далее найти точку пересечения B₁C₁ с этой плоскостью. 9. Нужно доказать, что B₁M = MC₁. **Более простое объяснение (без координат):** По условию, AE:EA₁ = 3:1 и BF:FB₁ = 3:5. Если провести плоскость EFD₁, она пересечет ребро B₁C₁ в точке M. Требуется доказать, что B₁M = MC₁. Рассмотрим проекцию плоскости EFD₁ на плоскость A₁B₁C₁D₁. Так как E проецируется в A₁, F проецируется в B₁, то проекция EFD₁ будет прямой A₁B₁D₁. Точка M - это точка пересечения B₁C₁ и A₁B₁D₁. Т.к. A₁B₁C₁D₁ - прямоугольник, то диагональ D₁B₁ делит B₁C₁ пополам. Следовательно, B₁M = MC₁. Что и требовалось доказать.