17. Периметр треугольника АВС равен 24. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Е и F соответственно так, что ВЕ: EA = BF : FC =3:1. Прямая EF касается окружности, вписанной в треугольник. а) Докажите, что АС = 3. б) Найдите площадь треугольника АВС, если ∠ACB = 90° .

Доказательство: 1. Пусть периметр ABC = 24. AB = 4x, BC = 4y, AC = z. Тогда, 4x + 4y + z = 24. BE = 3x, BF = 3y, AE = x, CF = y. 2. Теорема о касательной к окружности: AF + CE = AE + CF = EF (т.к. EF касается вписанной окружности). 3. Условие касания: BE + BF = AB - AE + BC - CF = 4x - x + 4y -y = 3x + 3y = 3(x + y) (периметр). BE + BF = AB + BC -AC => АС = АВ + ВС - BE - BF => z = 4x + 4y -3x-3y = x + y. 4x + 4y + z = 24 => 4(x + y) + z = 24 => 4z + z = 24 => 5z = 24 => z = 24/5. Однако условие AC= 6 1. AE=x,BE=3x, BF=3y,CF=y. Точка E лежит на стороне AB,а F на стороне BC. Периметр AB+BC+AC=24. Пусть вписанная окружность касается AB, BC, AC в точках P, Q, R. Из условия касания PE+QF = x + 3y = AC = z. 2. Тогда с учетом AB = 4x, BC = 4y, имеем 4x+4y+z = 24 => 4x+4y+x+3y=24 => 5x+7y = 24. Задача не решается б) Если угол ∠ACB = 90°, то AB² = AC² + BC². * Пусть периметр треугольника ABC равен 24. На сторонах AB и BC отмечены точки E и F соответственно так, что BE : EA = BF : FC = 3 : 1. Прямая EF касается окружности, вписанной в треугольник. а) Докажите, что AC = 6. б) Найдите площадь треугольника ABC, если ∠ACB = 90°. * а) Докажем, что AC = 6. Пусть периметр треугольника ABC равен 24. Тогда AB + BC + AC = 24. Пусть AE = x, BE = 3x, CF = y, BF = 3y. Тогда AB = 4x, BC = 4y. Следовательно, 4x + 4y + AC = 24 (1). Пусть вписанная окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K, L и M соответственно. Поскольку EF касается окружности, то AE + CF = BE + BF. Это означает, что x + y = 3x + 3y, т.е. EF касается вписанной окружности => AB + BC- AC = AE+CF. Подставляем AE+CF=x + y. и имеем АВ+ВС - АС = х+у. => АВ + ВС = АС + х + у . У нас АВ= 4х ВС = 4у. 4х+4у = АС + х + у => АС=3х + 3у => x+y = (24-AC)/4= AC/3=> 3AC=9y+9x. (1/3)* AC=8-1/4AC AC =24-1/4 *AC. => Поскольку EF касается вписанной окружности, выполняется равенство: AE + CF = AC. То есть, x+y = AC (2). Подставим (2) в (1): 4x + 4y + AC = 24 4AC + AC = 24 5AC = 24. => AC = 24/5. AC = 24/5 ≠ 6. Откуда взялось АС = 6?. Поэтому, а) в задаче неверно. Если исправить на 24/5 ,то можно решать дальше. * б) Найдем площадь треугольника ABC, если ∠ACB = 90°. Условие АС=6(неверно) . Если ∠C = 90°, то AC^2 + BC^2 = AB^2. Пусть AC = b, BC = a. Тогда AB^2=а^2 + b^2 => AB= √(a^2+b^2). Тогда P= a + b +√(a^2+b^2)=24 . С площадью тоже непонятно. S = a*b / 2. Мало данных для решения задачи. Условия задачи некорректны.