А6. Сколько существует: а) четырёхзначных; б) пятизначных натуральных чисел, которые делятся на 5, и у которых в записи нет одинаковых цифр?

А6. а) Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Рассмотрим оба случая. 1) Если последняя цифра 0, то первая цифра может быть любой от 1 до 9 (9 вариантов), вторая - любая из оставшихся (8 вариантов), третья - любая из оставшихся (7 вариантов). Общее количество: $$9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$$ 2) Если последняя цифра 5, то первая цифра может быть любой от 1 до 9, кроме 5 (8 вариантов), вторая - любая из оставшихся, кроме 5 (8 вариантов), третья - любая из оставшихся, кроме 5 (7 вариантов). Общее количество: $$8 \cdot 8 \cdot 7 = 448$$ Суммируем результаты: $$504 + 448 = 952$$ б) Для пятизначных чисел рассуждаем аналогично. 1) Если последняя цифра 0, то первая цифра может быть любой от 1 до 9 (9 вариантов), вторая - любая из оставшихся (8 вариантов), третья - любая из оставшихся (7 вариантов), четвертая - любая из оставшихся (6 вариантов). Общее количество: $$9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$$ 2) Если последняя цифра 5, то первая цифра может быть любой от 1 до 9, кроме 5 (8 вариантов), вторая - любая из оставшихся, кроме 5 (8 вариантов), третья - любая из оставшихся, кроме 5 (7 вариантов), четвертая - любая из оставшихся, кроме 5 (6 вариантов). Общее количество: $$8 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 2688$$ Суммируем результаты: $$3024 + 2688 = 5712$$ Ответ: а) 952 б) 5712