а) Сколько существует перестановок семи учеников, при которых три определённых ученика находятся рядом друг с другом? б) Сколькими способами 28 учеников могут выстроиться в очередь? 1) Сколькими способами это число изменится, если Петю Иванова и Колю Васина нельзя ставить друг за другом?

а) Считаем трёх определённых учеников одним блоком. Тогда размещаем в ряд этот блок и остальных четырёх учеников: \(5!\) способов. Внутри блока ученики могут переставляться \(3!\) способами. Итого \(5!\cdot3!=720\).

б) Без ограничений 28 учеников можно выстроить \(28!\) способами. Если Петя Иванов и Коля Васин не должны стоять рядом, вычитаем варианты, в которых они образуют блок. Таких вариантов \(2\cdot27!\): внутри блока два порядка, а блок вместе с другими учениками образует 27 объектов.

Искомое число: \(28!-2\cdot27!=26\cdot27!\).

Ответ: а) 720 способов; б) \(26\cdot27!\) способов.