403. а) В треугольнике АВС АВ=13, BC = 14, AC = 15. Найдите его площадь. б) В треугольнике АВС АВ=13, BC = 20, AC = 21 . Найдите его площадь. в) В треугольнике ABC AB=17, BC = 25, AC = 28. Найдите его площадь. г) В треугольнике АВС АВ=10, BC = 17, AC = 21 . Найдите его площадь.

Решение:

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам можно воспользоваться формулой Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$a, b, c$$ - стороны треугольника, $$p$$ - полупериметр, т.е. $$p = \frac{a+b+c}{2}$$.

1. а) В треугольнике АВС АВ=13, BC = 14, AC = 15.

   Найдем полупериметр: $$p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$$. Тогда площадь треугольника равна: $$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$

2. б) В треугольнике АВС АВ=13, BC = 20, AC = 21.

   Найдем полупериметр: $$p = \frac{13+20+21}{2} = \frac{54}{2} = 27$$. Тогда площадь треугольника равна: $$S = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3^3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$$

3. в) В треугольнике ABC AB=17, BC = 25, AC = 28.

   Найдем полупериметр: $$p = \frac{17+25+28}{2} = \frac{70}{2} = 35$$. Тогда площадь треугольника равна: $$S = \sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7} = \sqrt{5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 6 \cdot 35 = 210$$

4. г) В треугольнике АВС АВ=10, BC = 17, AC = 21.

   Найдем полупериметр: $$p = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24$$. Тогда площадь треугольника равна: $$S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{2^3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$

Ответ: а) 84; б) 126; в) 210; г) 84