405. а) В треугольнике АВС отрезок MN является средней линией, парал- лельной стороне АС. Площадь треугольника АВС равна 124. Найдите площадь треугольника MBN. б) В треугольнике АВС отрезок MN является средней линией, парал- лельной стороне АС. Площадь треугольника MBN равна 23. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

Если MN - средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AC, то треугольник MBN подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия k = 1/2. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Т.е. $$S_{MBN}/S_{ABC} = k^2$$, где $$k=\frac{1}{2}$$. Отсюда следует: $$S_{MBN} = \frac{1}{4} S_{ABC}$$ и $$S_{ABC} = 4 S_{MBN}$$.

1. а) В треугольнике АВС отрезок MN является средней линией, параллельной стороне АС. Площадь треугольника АВС равна 124. Тогда площадь треугольника MBN равна: $$S_{MBN} = \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 124 = 31$$

2. б) В треугольнике АВС отрезок MN является средней линией, параллельной стороне АС. Площадь треугольника MBN равна 23. Тогда площадь треугольника АВС равна: $$S_{ABC} = 4 S_{MBN} = 4 \cdot 23 = 92$$

Ответ: а) 31; б) 92