А4. В треугольнике АВС сторона ВС = 30 см. На сто- роне АВ отложен отрезок AD = 6 см, а на стороне АС - отрезок АЕ = 8 см. Чему равна длина отрезка DE, если BD = 9 см, СЕ = 12 см? 1) 12 см 2) 20 см 3) 15 см 4) 18 см

1) Найдем стороны АВ и АС.

AB = AD + BD = 6 + 9 = 15 см

AC = AE + CE = 8 + 12 = 20 см

2) Рассмотрим треугольники △АВС и △ADE.

$$\frac{AD}{AB} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$$ $$\frac{AE}{AC} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$$

∠A общий, следовательно, △АВС ~ △ADE по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Составим отношение сходственных сторон:

$$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$$

Выразим DE:

$$DE = \frac{BC \cdot AD}{AB}$$

Подставим значения:

$$DE = \frac{30 \cdot 6}{15} = 12$$

DE = 12 см.

Ответ: 1) 12 см