В1. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и ВС пересекаются в точке О. Периметры треугольников ВОС и AOD относятся как 2: 3, АС = 20. Найдите длины отрез- ков АО И ОС.

Рассмотрим трапецию ABCD. Т.к. AD и BC - основания, то они параллельны. Рассмотрим треугольники $$ \triangle BOC$$ и $$ \triangle AOD$$.

• $$∠BOC = ∠AOD$$ как вертикальные.
• $$∠OBC = ∠ODA$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Треугольники подобны по двум углам.

Периметры треугольников относятся как 2:3, значит, и стороны относятся как 2:3.

Пусть $$OC = 2x$$, тогда $$AO = 3x$$.

$$AC = AO + OC = 20$$.

$$3x + 2x = 20$$.

$$5x = 20$$.

$$x = 4$$.

$$OC = 2 \cdot 4 = 8$$.

$$AO = 3 \cdot 4 = 12$$.

Ответ: АО = 12, ОС = 8.