С1. Основания трапеции равны 9 см и 6 см, а высота равна 10 см. Найдите разность расстояний от точки пересечения диагоналей трапеции до ее оснований.

Пусть дана трапеция ABCD, BC = 6 см, AD = 9 см, высота BH = 10 см. Диагонали трапеции пересекаются в точке О.

Необходимо найти разность высот h1 и h2.

      B                    C
      •--------------------•
     /|                   /|
    / |                  / |
   /h1|                 /  |
  /   |                /   |
 A-----•--------------•-----D
      h2

1) Рассмотрим треугольники △BOC и △AOD.

∠BOC = ∠AOD как вертикальные, ∠OBC = ∠ODA как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD, следовательно, △BOC ~ △AOD по двум углам.

2) Составим отношение сходственных сторон:

$$\frac{BC}{AD} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

Коэффициент подобия k = 2/3.

3) Высоты, проведенные из вершины О, также относятся как 2:3.

h1 : h2 = 2 : 3

Пусть h1 = 2x, h2 = 3x, тогда h1 + h2 = BH = 10

2x + 3x = 10

5x = 10

x = 2

h1 = 2 * 2 = 4 см

h2 = 3 * 2 = 6 см

4) Найдем разность высот:

h2 - h1 = 6 - 4 = 2 см

Ответ: 2 см.