A1.. Вычислите интеграл: a) ∫(4x^3 - x + 5)dx; б) ∫(-2 до 3) dx/x^3

Решение:

a) Интеграл от многочлена вычисляется по правилу интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и свойству линейности интеграла:

\[ \int (4x^3 - x + 5) dx = 4 \int x^3 dx - \int x dx + \int 5 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - \frac{x^{1+1}}{1+1} + 5x + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^4 - \frac{x^2}{2} + 5x + C \]

б) Вычислим определённый интеграл:

\[ \int_{-2}^{3} \frac{dx}{x^3} = \int_{-2}^{3} x^{-3} dx = \left[ \frac{x^{-3+1}}{-3+1} \right]_{-2}^{3} = \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_{-2}^{3} = \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{-2}^{3} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ = \left( -\frac{1}{2(3)^2} \right) - \left( -\frac{1}{2(-2)^2} \right) = \left( -\frac{1}{2 \cdot 9} \right) - \left( -\frac{1}{2 \cdot 4} \right) = -\frac{1}{18} - \left( -\frac{1}{8} \right) = -\frac{1}{18} + \frac{1}{8} \]

Приведём к общему знаменателю (72):

\[ = -\frac{4}{72} + \frac{9}{72} = \frac{5}{72} \]

Ответ: a) $$x^4 - \frac{x^2}{2} + 5x + C$$; б) $$\frac{5}{72}$$.