A3. Вычислите, сделав предварительно рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: y=2x², y=0, x=3, x = 0.

Решение:

Фигура ограничена параболой \( y = 2x^2 \), осью абсцисс \( y = 0 \) и вертикальными прямыми \( x = 0 \) и \( x = 3 \).

Площадь фигуры вычисляется как определённый интеграл от функции \( y = 2x^2 \) по переменной \( x \) от 0 до 3:

\[ S = \int_{0}^{3} 2x^2 dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = 2 \int_{0}^{3} x^2 dx = 2 \left[ \frac{x^{2+1}}{2+1} \right]_{0}^{3} = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ S = 2 \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = 2 \cdot 9 = 18 \]

Ответ: $$18$$.