А4. Докажите, что функция F является первообразной для функции f(x) на промежутке (-∞; +∞), если F(x) = 2x - x², f(x) = 2 - 2x.

Решение:

Чтобы доказать, что функция \( F(x) \) является первообразной для функции \( f(x) \), необходимо вычислить производную от \( F(x) \) и проверить, совпадает ли она с \( f(x) \).

Дано: \( F(x) = 2x - x^2 \) и \( f(x) = 2 - 2x \).

Вычислим производную от \( F(x) \):

\[ F'(x) = \frac{d}{dx}(2x - x^2) \]

Используя правила дифференцирования:

\[ F'(x) = \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(x^2) \]

\[ F'(x) = 2 \cdot 1 - 2x = 2 - 2x \]

Сравнивая полученную производную \( F'(x) \) с функцией \( f(x) \), видим, что:

\[ F'(x) = 2 - 2x = f(x) \]

Так как производная от \( F(x) \) равна \( f(x) \) на всём промежутке \( (-\infty; +\infty) \), то \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \) на этом промежутке.

Ответ: Доказано, что $$F'(x) = f(x)$$.