A2. Для функции f(x) = 2cosx найдите: а) множество всех первообразных; б) первообразную, график которой проходит через точку М (π/3 ; 0)

Решение:

a) Первообразная для функции \( f(x) = 2 \textrm{cos}x \) находится путём интегрирования:

\[ F(x) = \int 2 \textrm{cos}x dx = 2 \int \textrm{cos}x dx = 2 \textrm{sin}x + C \]

Множество всех первообразных: \( F(x) = 2 \textrm{sin}x + C \), где \( C \) — любое действительное число.

б) Найдём значение \( C \), используя условие, что график первообразной проходит через точку \( M(\frac{\pi}{3}, 0) \). Подставим координаты точки в уравнение первообразной:

\[ 0 = 2 \textrm{sin}\left(\frac{\pi}{3}\right) + C \]

Известно, что \( \textrm{sin}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставим это значение:

\[ 0 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + C \]

\[ 0 = \sqrt{3} + C \]

\[ C = -\sqrt{3} \]

Таким образом, искомая первообразная:

\[ F(x) = 2 \textrm{sin}x - \sqrt{3} \]

Ответ: а) $$F(x) = 2 \textrm{sin}x + C$$; б) $$F(x) = 2 \textrm{sin}x - \textrm{sqrt}(3)$$.