В5. Вычислите интеграл ∫(0 до 3) [x² + (1-x)²] dx

Решение:

Вычислим определённый интеграл:

\[ \int_{0}^{3} [x^2 + (1-x)^2] dx \]

Сначала раскроем скобки:

\[ (1-x)^2 = 1 - 2x + x^2 \]

Теперь подставим это в интеграл:

\[ \int_{0}^{3} [x^2 + 1 - 2x + x^2] dx = \int_{0}^{3} [2x^2 - 2x + 1] dx \]

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое:

\[ \int (2x^2 - 2x + 1) dx = 2 \int x^2 dx - 2 \int x dx + \int 1 dx \]

\[ = 2 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x = \frac{2}{3}x^3 - x^2 + x \]

Теперь вычислим определённый интеграл, подставив пределы от 0 до 3:

\[ \left[ \frac{2}{3}x^3 - x^2 + x \right]_{0}^{3} = \left( \frac{2}{3}(3)^3 - (3)^2 + 3 \right) - \left( \frac{2}{3}(0)^3 - (0)^2 + 0 \right) \]

\[ = \left( \frac{2}{3} \cdot 27 - 9 + 3 \right) - (0) \]

\[ = (2 \cdot 9 - 9 + 3) = (18 - 9 + 3) = 9 + 3 = 12 \]

Ответ: $$12$$.