С6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = -6x - x² и y = -2x.

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо сначала найти точки их пересечения. Приравняем уравнения:

\[ -6x - x^2 = -2x \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ -x^2 - 6x + 2x = 0 \]

\[ -x^2 - 4x = 0 \]

Вынесем \( -x \) за скобки:

\[ -x(x + 4) = 0 \]

Отсюда получаем точки пересечения: \( x = 0 \) и \( x = -4 \).

Теперь определим, какая из функций находится выше на интервале \( [-4, 0] \). Возьмём тестовую точку, например, \( x = -2 \):

Для \( y = -6x - x^2 \): \( y = -6(-2) - (-2)^2 = 12 - 4 = 8 \).

Для \( y = -2x \): \( y = -2(-2) = 4 \).

Так как \( 8 > 4 \), функция \( y = -6x - x^2 \) находится выше на данном интервале.

Площадь фигуры вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} (y_{верхняя} - y_{нижняя}) dx \]

В нашем случае \( a = -4 \), \( b = 0 \), \( y_{верхняя} = -6x - x^2 \), \( y_{нижняя} = -2x \).

\[ S = \int_{-4}^{0} [(-6x - x^2) - (-2x)] dx \]

\[ S = \int_{-4}^{0} [-6x - x^2 + 2x] dx \]

\[ S = \int_{-4}^{0} [-x^2 - 4x] dx \]

Проинтегрируем:

\[ \int (-x^2 - 4x) dx = -\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} - 2x^2 \]

Теперь подставим пределы интегрирования:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - 2x^2 \right]_{-4}^{0} \]

\[ S = \left( -\frac{(0)^3}{3} - 2(0)^2 \right) - \left( -\frac{(-4)^3}{3} - 2(-4)^2 \right) \]

\[ S = (0 - 0) - \left( -\frac{-64}{3} - 2(16) \right) \]

\[ S = 0 - \left( \frac{64}{3} - 32 \right) \]

\[ S = -\frac{64}{3} + 32 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ S = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{32}{3} \]

Ответ: $$\frac{32}{3}$$.