A14. Вычислите cos² π/8 · sin² π/8.

Решение:

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \).

Возведём обе части этой формулы в квадрат: \( \sin^2(2\alpha) = (2 \sin(\alpha) \cos(\alpha))^2 = 4 \sin^2(\alpha) \cos^2(\alpha) \).

Отсюда выразим произведение \( \cos^2(\alpha) \sin^2(\alpha) \): \( \cos^2(\alpha) \sin^2(\alpha) = \frac{\sin^2(2\alpha)}{4} \).

В нашем случае \( \alpha = \frac{\pi}{8} \). Тогда \( 2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \).

Подставим в формулу:

\( \cos^2(\frac{\pi}{8}) \sin^2(\frac{\pi}{8}) = \frac{\sin^2(\frac{\pi}{4})}{4} \).

Значение \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Тогда \( \sin^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

Подставляем это значение:

\( \frac{\sin^2(\frac{\pi}{4})}{4} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8} \).

Ответ: 1/8