В3. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения √x+3 = 2x.

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\( (\sqrt{x+3})^2 = (2x)^2 \).

\( x+3 = 4x^2 \).

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 4x^2 - x - 3 = 0 \).

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

\( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(4)(-3) = 1 + 48 = 49 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \).

Найдем корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\( x_1 = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 4} = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1 \).

\( x_2 = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 4} = \frac{1 - 7}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \).

Теперь проверим, подходят ли эти корни исходному уравнению \( \sqrt{x+3} = 2x \).

Проверка для \( x_1 = 1 \):

Левая часть: \( \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 \).

Правая часть: \( 2
\cdot 1 = 2 \).

Левая часть равна правой части, значит, \( x = 1 \) — корень уравнения.

Проверка для \( x_2 = -3/4 \):

Левая часть: \( \sqrt{-\frac{3}{4}+3} = \sqrt{-\frac{3}{4}+\frac{12}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \).

Правая часть: \( 2 \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \).

Левая часть (\( 3/2 \)) не равна правой части (\( -3/2 \)), значит, \( x = -3/4 \) — посторонний корень.

Единственный корень уравнения — \( x = 1 \).

Ответ: 1