В1. В полуокружность вписан квадрат со сторонами √5 так, что две его вершины лежат на диаметре. Найдите радиус полуокружности.

Решение:

Пусть радиус полуокружности равен \( R \).

Диаметр полуокружности лежит на прямой, а две вершины квадрата лежат на этом диаметре. Пусть эти вершины — \( A \) и \( B \).

Две другие вершины квадрата, \( C \) и \( D \), лежат на дуге полуокружности.

Сторона квадрата равна \( a = \sqrt{5} \).

Так как \( C \) и \( D \) лежат на полуокружности, расстояние от центра полуокружности до этих вершин равно радиусу \( R \).

Пусть центр полуокружности — точка \( O \). Она лежит на середине отрезка \( AB \).

Пусть \( M \) — середина стороны \( CD \). Точка \( M \) будет совпадать с \( O \), если квадрат вписан симметрично.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром \( O \), вершиной \( C \) и серединой стороны \( CD \), которая является \( O \). Но это неверно.

Правильное рассуждение:

Пусть стороны квадрата параллельны диаметру и перпендикулярны ему. Пусть центр полуокружности — \( O \). Диаметр лежит на оси \( Ox \).

Две вершины квадрата лежат на диаметре. Пусть их координаты \( (-x, 0) \) и \( (x, 0) \). Тогда длина стороны квадрата, лежащей на диаметре, равна \( 2x \).

Две другие вершины имеют координаты \( (-x, y) \) и \( (x, y) \). Высота квадрата равна \( y \).

По условию, это квадрат, значит, \( 2x = y \). Сторона квадрата равна \( a = 2x = y = \sqrt{5} \).

Значит, \( x = \frac{\sqrt{5}}{2} \) и \( y = \sqrt{5} \).

Вершины квадрата: \( (-\frac{\sqrt{5}}{2}, 0) \), \( (\frac{\sqrt{5}}{2}, 0) \), \( (-\frac{\sqrt{5}}{2}, \sqrt{5}) \), \( (\frac{\sqrt{5}}{2}, \sqrt{5}) \).

Вершины \( C = (-\frac{\sqrt{5}}{2}, \sqrt{5}) \) и \( D = (\frac{\sqrt{5}}{2}, \sqrt{5}) \) лежат на полуокружности. Расстояние от центра \( O(0, 0) \) до \( C \) (или \( D \)) равно радиусу \( R \).

Используем теорему Пифагора для треугольника \( OMC \) (где \( M \) — проекция \( C \) на ось \( Ox \), т.е. \( M = (-\frac{\sqrt{5}}{2}, 0) \) ), но это опять неверно.

Правильное рассуждение:

Пусть \( R \) — радиус полуокружности. Центр полуокружности — \( O \). Диаметр лежит на оси \( Ox \). Квадрат вписан так, что две вершины лежат на диаметре, а две — на дуге.

Пусть вершины на диаметре — \( A \) и \( B \), а на дуге — \( C \) и \( D \).

Пусть сторона квадрата — \( a = \sqrt{5} \).

Вершины \( C \) и \( D \) находятся на высоте \( a = \sqrt{5} \) над диаметром.

Пусть центр полуокружности — \( O \). Пусть \( x \) — половина длины стороны квадрата, лежащей на диаметре. Тогда \( 2x \) — длина этой стороны. Эта сторона является частью диаметра.

Более простой подход:

Пусть \( R \) — радиус полуокружности. Диаметр — \( 2R \).

Пусть сторона квадрата — \( a = \sqrt{5} \).

Две вершины квадрата лежат на диаметре. Пусть расстояние от центра полуокружности до этих вершин равно \( x \). Тогда половина стороны квадрата, лежащей на диаметре, равна \( x \).

Высота квадрата равна \( a = \sqrt{5} \).

Вершина квадрата, лежащая на дуге, находится на расстоянии \( R \) от центра.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются:

1. Центр полуокружности \( O \).
2. Середина стороны квадрата, лежащей на диаметре (обозначим её \( M \)).
3. Одна из вершин квадрата, лежащая на дуге (обозначим её \( C \)).

Длина \( OM \) равна половине стороны квадрата, лежащей на диаметре. Пусть эта сторона равна \( b \). Тогда \( OM = b/2 \).

Длина \( MC \) равна высоте квадрата, то есть \( a = \sqrt{5} \).

Длина \( OC \) равна радиусу \( R \).

По теореме Пифагора: \( (b/2)^2 + a^2 = R^2 \).

Теперь нужно найти \( b \).

Если две вершины лежат на диаметре, а две — на дуге, то это означает, что одна сторона квадрата лежит на диаметре, а две другие вершины — на дуге.

Пусть центр полуокружности — \( O \). Пусть квадрат имеет вершины \( (-b/2, 0) \), \( (b/2, 0) \), \( (-b/2, a) \), \( (b/2, a) \).

Здесь \( a = \sqrt{5} \).

Вершины \( (-b/2, a) \) и \( (b/2, a) \) лежат на полуокружности. Расстояние от \( O(0, 0) \) до \( (b/2, a) \) равно \( R \).

\( R^2 = (b/2)^2 + a^2 \).

Но в условии сказано, что вписан квадрат со сторонами \( \sqrt{5} \). Это значит, что \( a = \sqrt{5} \) и \( b = \sqrt{5} \).

Тогда \( R^2 = (\sqrt{5}/2)^2 + (\sqrt{5})^2 = \frac{5}{4} + 5 = \frac{5 + 20}{4} = \frac{25}{4} \).

\( R = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} \).

Проверка:

Если \( R = 5/2 \), то диаметр \( D = 5 \).

Две вершины квадрата лежат на диаметре. Высота квадрата \( a = \sqrt{5} \).

Половина стороны квадрата, лежащей на диаметре, равна \( b/2 \). Высота квадрата равна \( a = \sqrt{5} \).

Радиус \( R = 5/2 \).

\( R^2 = (b/2)^2 + a^2 \).

\( (5/2)^2 = (b/2)^2 + (\sqrt{5})^2 \).

\( 25/4 = (b/2)^2 + 5 \).

\( (b/2)^2 = 25/4 - 5 = 25/4 - 20/4 = 5/4 \).

\( b/2 = \sqrt{5}/2 \).

\( b = \sqrt{5} \).

Значит, сторона квадрата, лежащая на диаметре, равна \( \sqrt{5} \).

Высота квадрата равна \( \sqrt{5} \).

Это означает, что вся сторона квадрата равна \( \sqrt{5} \).

Значит, \( a = \sqrt{5} \) и \( b = \sqrt{5} \).

Ответ: 5/2