А16. а) Точки A, B и C лежат на одной прямой. Известно, что AB = 20, AC : BC = 2 : 3. Чему может быть равна длина отрезка AC? б) Точки A, B и C лежат на одной прямой. Известно, что AB = 27, AC : BC = 7 : 2. Чему может быть равна длина отрезка AC?

Рассмотрим возможные положения точек на прямой.

1. а) Если C находится между A и B, то \(AC+BC=20\). Отношение 2:3 даёт \(AC=20\cdot\frac{2}{5}=8\). Если A находится между B и C, то \(BC=AC+20\), и отношение \(AC:BC=2:3\) приводит к \(AC=40\). Если B находится между A и C, то \(AC>BC\), что несовместимо с отношением 2:3. Возможны значения 8 и 40.
2. б) Если C находится между A и B, то \(AC+BC=27\), поэтому \(AC=27\cdot\frac{7}{9}=21\). Если B находится между A и C, то \(AC=BC+27\). Из \(AC:BC=7:2\) получаем \(BC=10{,}8\), следовательно, \(AC=37{,}8\). Если A находится между B и C, то \(BC>AC\), что несовместимо с отношением 7:2. Возможны значения 21 и 37,8.

Ответ: а) 8 или 40; б) 21 или 37,8.