A19. Стороны параллелограмма равны 1 + √2 и 6 + √8; AM, DN — биссектрисы углов. Тогда длина отрезка MN равна: 1) 2; 2) 4; 3) √2; 4) 2√2; 5) 6 − 2√2.

Обозначим \(AB=CD=s\), а \(AD=BC=L\). Биссектриса угла A пересекает BC в точке M; из параллельности AD и BC следует, что треугольник ABM равнобедренный, поэтому \(BM=AB=s\). Аналогично для биссектрисы угла D получаем \(CN=CD=s\).

Следовательно, \(MN=BC-BM-CN=L-2s\). По рисунку длинная сторона — \(6+\sqrt8=6+2\sqrt2\), короткая — \(1+\sqrt2\). Тогда

\(MN=(6+2\sqrt2)-2(1+\sqrt2)=4\).

Ответ: 4 (вариант 2).